多元函数极值的求法及其应用有哪些参考文献（多元函数求极值的主要方法）

教会网 2022-10-15

请问这道高数多元函数题目，划线部分怎么推的，求大佬详细解释，谢谢啦

这里不需要推导，利用了等价无穷小的概念。

分子分母都趋向于0，极限为常数，那么分子分母就是等价无穷小

高数，急求！！！

;fr=ala0 百度高数吧

高等数学比初等数学“高等”的数学。广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学，也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论逻辑称为中等数学，作为小学初中的初等数学与本科阶段的高等数学的过渡。通常认为，高等数学是将简单的微积分学，概率论与数理统计，以及深入的代数学，几何学，以及他们之间交叉所形成的一门基础学科，主要包括微积分学，其他方面各类课本略有差异高等数学的特点

初等数学研究的是常量，高等数学研究的是变量

高等数学（也称为微积分。它是几门课程的总称）是理、工科院校一门重要的基础学科。

作为一门科学，高等数学有其固有的特点，这就是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。抽象性是数学最基本、最显著的特点--有了高度抽象和统一，我们才能深入地揭示其本质规律，才能使之得到更广泛的应用。严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理中，无论是概念和表述，还是判断和推理，都要运用逻辑的规则，遵循思维的规律。所以说，数学也是一种思想方法，学习数学的过程就是思维训练的过程。人类社会的进步，与数学这门科学的广泛应用是分不开的。尤其是到了现代，电子计算机的出现和普及使得数学的应用领域更加拓宽，现代数学正成为科技发展的强大动力，同时也广泛和深入地渗透到了社会科学领域。因此，学好高等数学对我们来说相当重要。

如何学好高等数学

平心而论，高等数学确实是一门比较难的课程。极限的运算、无穷小量、一元微积分学、多元微积分学、无穷级数等章节都有比较大的难度。

很多学生对“怎样才能学好这门课程？”感到困惑。要想学好高等数学，要做到以下几点：

首先，理解概念。数学中有很多概念。概念反映的是事物的本质,弄清楚了它是如何定义的、有什么性质，才能真正地理解一个概念。

其次，掌握定理。定理是一个正确的命题，分为条件和结论两部分。对于定理除了要掌握它的条件和结论以外，还要搞清它的适用范围，做到有的放矢。

第三，在弄懂例题的基础上作适量的习题。要特别提醒学习者的是，课本上的例题都是很典型的，有助于理解概念和掌握定理，要注意不同例题的特点和解法在理解例题的基础上作适量的习题。作题时要善于总结---- 不仅总结方法，也要总结错误。这样，作完之后才会有所收获，才能举一反三。

第四，理清脉络。要对所学的知识有个整体的把握，及时总结知识体系，这样不仅可以加深对知识的理解，还会对进一步的学习有所帮助。

高等数学中包括微积分和立体解析几何，级数和常微分方程。其中尤以微积分的内容最为系统且在其他课程中有广泛的应用。微积分的创建工作，是由牛顿和莱布尼茨完成的[只是他们创建的微积分的理论基础不够严谨]。（当然在他们之前就已有微积分的应用，但不够系统）

具体内容

一、函数与极限分为

常量与变量

函数

函数的简单性态

反函数

初等函数

数列的极限

函数的极限

无穷大量与无穷小量

无穷小量的比较

函数连续性

连续函数的性质及初等函数函数连续性

二、导数与微分

导数的概念

函数的和、差求导法则

函数的积、商求导法则

复合函数求导法则

反函数求导法则

高阶导数

隐函数及其求导法则

函数的微分

三、导数的应用

微分中值定理

未定式问题

函数单调性的判定法

函数的极值及其求法

函数的最大、最小值及其应用

曲线的凹向与拐点

四、不定积分

不定积分的概念及性质

求不定积分的方法

几种特殊函数的积分举例

五、定积分及其应用

定积分的概念

微积分的积分公式

定积分的换元法与分部积分法

广义积分

六、空间解析几何

空间直角坐标系

方向余弦与方向数

平面与空间直线

曲面与空间曲线

八、多元函数的微分学

多元函数概念

二元函数极限及其连续性

偏导数

全微分

多元复合函数的求导法

多元函数的极值

九、多元函数积分学

二重积分的概念及性质

二重积分的计算法

三重积分的概念及其计算法

十、常微分方程

微分方程的基本概念

可分离变量的微分方程及齐次方程

线性微分方程

可降阶的高阶方程

线性微分方程解的结构

二阶常系数齐次线性方程的解法

二阶常系数非齐次线性方程的解法

十一、无穷级数

无穷级数是研究有次序的可数无穷个数或者函数的和的收敛性及和的数值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。只有无穷级数收敛时有一个和；发散的无穷级数没有和。算术的加法可以对有限个数求和，但无法对无限个数求和，有些数列可以用无穷级数方法求和。包括数项级数(包括正项级数和任意项级数，其中任意项级数中包括交错级数等)、函数项级数（又包括幂级数、Fourier级数；复变函数中的泰勒级数、Laurent(洛朗)级数）。无穷级数主要作用在于可以将具有无穷项的数列收敛成为函数或者逆向将一个函数展开为无穷级数，提供了一种新的逼近方式。这里需要说明的是，并不是所有的无穷级数都可以收敛成函数，需要“审敛”即判定其是否收敛。常见方法有比较法（包括极限形式的比较法），根值法，比值法等。数学专业则需要使用多达13种方法判断其是否收敛。

导数的概念

在学习导数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题。

例：设一质点沿x轴运动时，其位置x是时间t的函数，y=f(x) ，求质点在t0的瞬时速度？

我们知道时间从t0有增量△t时，质点的位置有增量

这就是质点在时间段△t的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为;

若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在t0时的瞬时速度。

我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t0时的瞬时速度，

即：质点在t0时的瞬时速度=

为此就产生了导数的定义，如下：

导数的定义

设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地

函数有增量

若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为y=f(x)在x0处的导数。

记为：

还可记为：

函数f(x)在点x0处存在导数简称函数f(x)在点x0处可导，否则不可导。

若函数f(x)在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数f(x)在区间(a,b)内可导。这时函数y=f(x)对于区

间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，

我们就称这个函数为原来函数y=f(x)的导函数。

注：导数也就是差商的极限

左、右导数

前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。

若极限

存在，我们就称它为函数y=f(x)在x=x0处的左导数。

若极限

存在，我们就称它为函数y=f(x)在x=x0处的右导数。

注：函数y=f(x)在x0处的左右导数存在且相等是函数y=f(x)在x0处的可导的充分必要条件[1

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One Sunday my mother (Mother) had (made) me take my little young brother to the a trip to the country. She bade me take good care of him.

(x)：偶函数：关于y轴对称

导数公式：

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

一些初等函数：两个重要极限：

三角函数公式：

#8226;诱导公式：

函数

角A sin cos tg ctg

-α -sinα cosα -tgα -ctgα

90°-α cosα sinα ctgα tgα

90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα

180°-α sinα -cosα -tgα -ctgα

180°+α -sinα -cosα tgα ctgα

270°-α -cosα -sinα ctgα tgα

270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα

360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα

360°+α sinα cosα tgα ctgα

#8226;和差角公式： #8226;和差化积公式：

#8226;倍角公式：

#8226;半角公式：

#8226;正弦定理： #8226;余弦定理：

#8226;反三角函数性质：

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

中值定理与导数应用：

曲率：

定积分的近似计算：

定积分应用相关公式：

空间解析几何和向量代数：

多元函数微分法及应用

微分法在几何上的应用：

方向导数与梯度：

多元函数的极值及其求法：

重积分及其应用：

柱面坐标和球面坐标：

曲线积分：

曲面积分：

高斯公式：

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

常数项级数：

级数审敛法：

绝对收敛与条件收敛：

幂级数：

函数展开成幂级数：

一些函数展开成幂级数：

欧拉公式：

三角级数：

傅立叶级数：

周期为的周期函数的傅立叶级数：

微分方程的相关概念：

一阶线性微分方程：

全微分方程：

二阶微分方程：

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)式的通解

两个不相等实根

两个相等实根

一对共轭复根

二阶常系数非齐次线性微分方程

求解，帮帮忙

除行政管理类不考数学，其他三人都在数学考试。考试内容

数学是

中国微积分，函数，极限，连续

概念和考试

函数表示法的内容有界性功能。单调。周期性和奇偶校验复杂的功能。反函数。

建立的性质和基本功能的图形段中的功能的基本初等函数和限位功能的属性的列定义的和隐函数的函数的数量限制的左极限和无穷小的权限的函数和无限大量的概念及其关系四两个条件限制的操作和无穷无穷小的比较极限的性质存在：单调有界准则和夹逼准则两个重要的限制：输入初等函数的

连续函数函数的概念，性质不连续性

连续性测试在闭区间上连续函数的要求

1.理解函数，主函数符号，概念会建立应用问题的函数。

2.了解有界性的功能。单调。周期性和奇偶性。

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4.掌握基本初等函数及其图形的性质，了解初等函数的概念。

5.理解极限的概念和功能限制列数（包括左极限和右极限）的。

6.理解的性质和两个标准限制的存在限制，这四个控制算法的限制寻求掌握使用的两个重要的限制限制的方法。

7.理解无穷小的概念和基本性质。掌握比较的无穷小方法。理解无穷大的概念及其与无穷小的关系。

8.理解的功能（包括左和右连续连续），将确定的函数的不连续点型连续性的概念。

9.了解基本连续性的连续函数的性质和功能，了解连续函数在闭区间上的性质（有界性质的最大值和最小值定理，介值定理），并会应用这些性质。

二，平面曲线的切线和正常的衍生物和关系的一种可变几何形状的差异

考试

衍生物及其衍生概念和导函数的经济意义的功能所指可以引导和连续性差分4基本的四则运算衍生化合物的功能函数。反函数的微分法高阶导数的一阶差分微分不变的形式，隐函数中值定理洛必达（L'医院）判别函数的性质不均匀的法律Extreme图形函数单调函数。最大和最小

考试拐点和渐近线函数曲线图描绘功能要求旅馆1.理解概念之间的关系，并且可以引导和连续性的衍生物之间，衍生物理解几何意义和经济意义（包括余量和弹性的概念），将找到的切平面方程和曲线的正规方程。

2.掌握基本初等函数的导数。推导规则衍生4的算法和复杂的功能，分段函数会找到一个函数的导数将与隐函数导数被否定。

3.了解高阶导数的概念，会发现高阶导数的一个简单函数。

4.理解导数和微分的微分关系的概念，以及一阶微分形式不变性将区分功能。

5.理解罗尔（罗尔）定理。拉格朗日（拉格朗日）中值定理。了解泰勒定理。柯西（柯西）中值定理，掌握这四个定理的简单应用。

6.洛杉矶尔必达将用法律寻求限制。

7.主控判别方法单调函数，理解函数极值的主函数极值，最大值和最小值及其应用的概念。

8.衍生物将被用于确定图形的凹凸的函数（注意：在该间隔中，将函数的二阶导数有足够的时间，所述的图形是凹的;这时，该图形是凸的），将寻求函数图形拐点和渐近线。

9.描述一个简单的图形功能。

三个基本属性，的一个变量微积分考试内容

原有的功能和积分方程和定积分定积分中值定理和积分的基本性质的基本概念，不定积分不定积分函数的概念上限函数牛顿 - 莱布尼茨衍生物（牛顿 - 莱布尼兹）公式不定积分和定积分的换能器元件积分法和综合异常（广义）积分定积分的应用

考试要求

1.理解原函数的概念与不定积分，掌握不定积分和基本积分公式的基本性质，掌握不定积分换能器元件组成，并集成了零件。

2.了解定积分和本质的概念，了解定积分中值定理，理解函数的积分上限，并会寻求它的衍生物，掌握牛顿和莱布尼兹公式定积分的换能器元件组成和分部积分法。

3.面积计算会使用定积分的平面图形。体积和旋转体的功能的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题。

4.了解广义积分的概念，会计算广义积分。

四，限制和的二元函数的二元函数

多元函数微积分考试内容

多元函数的概念，这个概念的连续性几何意义范围内的连续函数极值区域二元多元函数的封闭性这一概念和多元复合函数的求导方法及全微分多元函数极值的二阶偏导数的隐函数求导的计算偏导数的条件。双重积分的最大值和最小值的概念。简单的反常二重积分

考试要求计算的基本性质和无界区域

1.理解多元函数的概念，了解几何意义二元函数。

2.了解二元函数的极限与连续性的概念，了解自然界中的有界闭区域二元连续函数。

3.学会与全微分的概念，多元函数的偏导数，并会寻求一阶和二阶偏导数的多元复合函数，微分也是不错的选择，将寻求偏导数，多元隐函数。

4.理解多元函数极值极值的概念和条件，以获得对不同的功能极端的理解充分条件是否存在的二元函数极值存在的必要条件，将寻求一个二元函数极值，会用拉格朗日乘子法的条件极值，会寻求最大和最小简单的多元函数，并解决简单的应用问题。

5.理解二重积分和基本属性的概念，掌握二重积分的计算方法（直角坐标极坐标）。学无界区域是相对简单的，将计算出的异常的二重积分。一个必要条件为系列和收敛的概念，基本性质

5，无穷级数

考试内容

概念常数项级数的收敛与发散，并与进展和绝对收敛和条件收敛几何级数的收敛正项级数收敛系列任意歧视法的交错级数的收敛幂级数与莱布尼茨定理及其收敛半径。简单的方法寻找电源系列及幂级数收敛区间初等函数（指开区间）和功率系列的电源系列中的基本属性和功能衔接的收敛域范围扩展功能

考试要求

1.收敛与发散学习系列。收敛级数和概念。

2.理解为一系列的必要条件的基本性质和级数收敛掌握融合和几何级数的情况进展的分歧，掌握正项级数的和比率的衔接对比试验鉴别法。

3.了解的任何系列的绝对收敛与条件收敛与绝对收敛与收敛的关系的概念，了解交错级数的莱布尼茨判别法。

4.将寻求幂级数，收敛性和收敛域区间的收敛半径。

5.学会收敛幂级数的基本性质及其范围（和职能的连续性，分项和分项积分微分），将寻求简单收敛幂级数在其范围和功能

6.理解。。。和麦克劳林（麦克劳林）扩展。

的六阶解决方案的本质，基本概念变量

考试内容

ODE ODE可分离的微分方程齐次微分方程线性微分方程和二阶结构定理解决方案的简单应用线性微分方程

考试常系数线性微分方程和差分方程的线性微分方程常系数一阶微分方程的特解通解的概念，简单的非齐次线性微分方程和微分差分方程需要

1。学习微分方程和它们的顺序，该溶液中，一般的解决方案，概念和初始条件的特殊解决方案等。

2.掌握变量可分离的微分方程。均相法求解微分方程和一阶线性微分方程。

3.将常系数二阶齐次线性微分方程解。

4.了解的性质和结构定理线性微分方程的求解，自由进入的解决方案将多项式。指数函数。正弦函数。二阶非齐次线性微分方程的余弦函数。

5.了解微分和差分方程的通解和特解象的概念。

6.了解一阶法求解线性微分方程常系数。

7.会用微分方程求解简单的经济应用问题。

线性代数

的决定因素

考试内容和

决定因素行的性质的基本概念（列）展开定理

考试要求

1.学习的概念决定因素，掌握自然的决定因素。 2.

的性质，并会应用行列式行列式的行（列）展开定理计算行列式。

两个充分必要条件的方形矩阵乘法方阵

考试内容

矩阵的概念，矩阵的线性运算矩阵的权力的概念和性质行列式矩阵的逆矩阵的转置可逆的等效陪初等初等变换矩阵的矩阵矩阵矩阵矩阵秩块矩阵及其操作

考试要求

1.理解矩阵的概念，了解矩阵，矩阵的数量，定义和对角矩阵，三角矩阵的性质，了解对称矩阵的定义和反对称矩阵和正交矩阵状的性质。线性运算，乘法

2.主矩阵，转置以及它们的操作的规则，理解功率的性质和产物的方阵方阵行列式。

3.理解逆矩阵的充分必要条件的概念，掌握逆矩阵的性质和矩阵可逆的，理解伴随矩阵的概念，将伴随矩阵求逆矩阵使用。

4.了解和基本初等变换矩阵的矩阵和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握求逆矩阵的方法排名初等变换。

5.了解分块矩阵，掌握算法块矩阵的概念。

三，矢量

考试内容

向量的线性组合的概念，并表示无关组同等职级高线性线性线性相关和线性向量组独立的向量向量组向量向量组的矩阵向量的秩独立的向量之间的内积级的线性关系正交规范化方法

考试要求

1.理解向量，向量加法和多个主乘法法则的概念。

2.理解向量和线性表示，线性相关，线性无关的概念，掌握向量的线性相关性的设置，对自然和无关的线性判别法向量组的线性组合。

3.了解线性无关向量组的极大组的概念，将寻求无关组及秩的最大线性向量组。

4.了解向量等同于理解秩和它的秩矩阵的行（列）之间的向量之间的关系的概念。

5.了解内积的概念。大师组正交线性无关的向量归施密特（施密特）方法。

四，克莱姆线性方程组线性方程可解不可解，并确定解决方案，以齐次线性方程组和非齐次

1的通解的基础上

考试内容

线性方程组（克莱默）规则。克莱姆法则解决方案将使用通用的解决方案

考试与齐次线性方程组元线性方程组的非齐次线性方程组的要求之间的线性方程组（导出组）解决方案的相应的解决方案。

2.掌握非齐次线性方程组的方法来确定有解无解。

3.理解线性方程组的齐次解的概念基础，掌握解决方案的基本制度和齐次线性方程组解的整体解决方案。

4.了解通过该解决方案的非齐次线性方程组的概念和结构。

5.掌握求解线性方程组的初等行变换的方法。

五概念特征值？值和特征向量的特征值？和特征向量

考试内容

矩阵，类似的性质和矩阵间的性质的概念相似性角化病的必要和充分的条件和相似对角实对称矩阵的特征值值和特征向量和类似的对角矩阵

考试要求

1.了解特征值，特征向量的概念，掌握特征值，主矩阵的特征值值与特征向量法的性质。

2.理解类似把握相似性矩阵的性质矩阵的概念中，基质可以是相似的充分必要条件角化病，主矩阵相似对角矩阵的方法的理解。

3.掌握实对称矩阵的特征值值和特征向量的性质。

六，二次

考试内容

二次转型和矩阵表示合同和秩矩阵，通过正交变配电二次型二次型正定的方法为标准型二次惯性定理二次型的标准形与规范形矩阵

考试要求

1.理解的将被表示为矩阵形式二次型二次型的概念，了解合同和合同变换矩阵的概念。

2.了解二次型的秩的概念了解二次型的标准形，规范形的概念，了解惯性定理，会用正交变换和分配方式的二次型为标准型。

3.理解正定二次型。概念正定矩阵，以及反歧视法的掌握。概率论

基本性能与数理统计酒店与概率的操作完成事件组的概念和随机事件的概率

考试内容

随机事件和经典样本空间的概率的关系事件的基本公式为事件独立几何概率条件概率的重复试验

独立检验要求的概率

1.了解样本空间（基本事件空间）的概念的概率，理解随机事件的概念，主该事件的关系和操作。

2.理解概率，条件概率的概念，概率把握计算的概率和经典几何概率的基本性质，加成的概率掌握式，式减法，乘法公式，全概率公式和贝叶斯（贝叶斯）式等。

3.了解事件，掌握事件概率计算独立性独立性的概念;了解，掌握方法的独立重复的概念来计算事件的概率。分布的随机

二，概率分布函数和随机变量的属性及其分布的概念

考试内容

随机变量的离散分布的随机变量的随机变量的分布

连续型随机变量的共同概率密度随机变量考试变量函数需要

1.理解随机变量的概念，了解分布函数

的概念和性质，并会计算与随机变量的概率相关的事件。

2.了解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布，二项分布，几何分布，超几何分布，泊松（泊松）分布及其应用。

3.泊松定理高手结论和应用条件，将泊松分布二项分布来近似。

4.理解连续型随机变量及其概率密度，掌握均匀，正态分布，指数分布及其应用，包括

5的概率参数指数分布密度的概念，将寻求随机变量的分布功能。

第三，概率分布

考试内容

多维随机变量和多维随机变量，边缘分布和条件分布概率密度的二维连续随机变量分布的两维离散随机变量分布的分布函数随机变量和条件密度和不相关性常见二维随机变量和两个或更多个随机变量的独立的两个边缘的作为的

1.了解基本的要求的函数

考试概率密度分布概念和随机变量的分布函数的多维性质。

2.了解随机变量和二维连续随机变量的概率密度的两维离散概率分布，把握随机变量和条件分布的二维分布的边缘。

3.理解随机变量和无关的概念的独立掌握独立随机变量的条件下，随机变量不明白的相关性和独立性之间的关系。

4.掌握正常的二维和二维均匀分布，显着性概率要了解哪些参数。

5.将寻求按照两个随机变量的联合分布，其分布函数，分布将寻求在根据多个相互独立随机变量的联合分布的功能。

四，数字签名

考试内容的数学期望

随机变量的随机变量（平均值），数学方差，标准差和所需的切比雪夫不等式的时刻的随机变量函数的性质（切比雪夫），协方差，相关系数和它们的属性

考试要求

1.理解随机变量的数字特征（数学期望，方差，标准差，矩，协方差，相关系数）的概念，将使用基本性质的数字签名，并掌握数字特性共同配送。

2.将寻求对随机变量函数的数学期望。

3.了解切比雪夫不等式。

五，大数定律和大量伯努利（伯努利）大数辛钦（Khinchine）的大数定律棣莫弗法的中心极限定理

考试内容

切比雪夫法 - 拉普拉斯斯里兰卡（棣莫弗 - 拉普拉斯）定理列维 - 大量的林德伯格（列维 - 林德伯格）定理

考试要求

1.了解切比雪夫大数定律，大数伯努利定律和大数辛钦法（律独立同分布的随机变量序列）。

2.了解棣莫弗 - 拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限），列维 - 林德伯格中心极限定理（独立同分布的随机变量序列的中心极限定理），并会使用相关的概率定理关于随机事件的近似计算。常见的抽样

六种基本数理统计的概念

整体个人考试内容

简单随机样本的统计经验分布函数样本均值和样本矩的样本方差的分布分布分布分位数正常人群中的分布

考试要求

1。了解整体的概念，简单随机样本，统计，样本均值，样本方差和样本矩，其中样本方差定义为

2.了解典型模式生成变量，变量和变量;理解标准正态分布，分布，分布和分布分位数的一侧，将调查了相应的数值表。

3.掌握样本均值正常人群。样本方差。样本矩的抽样分布。

4.了解经验分布函数的概念和性质。

七，参数估计

考试内容

点估计和矩估计法的概念的估计，估计的最大似然估计法

考试要求

1.了解参数的点估计，估计的量的估计值的概念的。

2.抓住矩估计法（一阶矩，二阶矩）和最大似然估计法

中国

比参考书复习公共课：

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高等数学同济P44定理6？

如果不满足g（x）不等于u0，

未必等于外层函数的极限

请考研考过长江大学高等数学的同学进，帮帮小妹

zhezhe729 你说话注意点，长江大学有什么不好的，都已经有博士授予权了，石油单位就业前景好的不一般。

学校的网站上有大纲，我给你发过去看看

《高等数学》科目考试大纲

一、考试性质

长江大学硕士研究生入学高等数学考试是为招收理学非数学专业硕士研究生而设置的具有选拔功能的水平考试。它的主要目的是测试考生的数学素质，包括对高等数学各项内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。考试对象为参加长江大学研究生入学高等数学考试的考生。

二、考试的基本要求

要求考生比较系统地理解高等数学的基本概念和基本理论，掌握高等数学的基本方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

三、考试方法和考试时间

高等数学考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

四、考试内容和考试要求

(一)、函数、极限、连续

考试内容

函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形数列极限与函数极限的概念无穷小和无穷大的概念及其关系无穷小的性质及无穷小的比较极限的四则运算极限存在的单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质函数的一致连续性概念

考试要求

1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

2. 理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。掌握判断函数这些性质的方法。

3. 理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。会求给定函数的复合函数和反函数。

4. 掌握基本初等函数的性质及其图形。

5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。

6. 掌握极限的性质及四则运算法则，会运用它们进行一些基本的判断和计算。

7. 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限。掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8. 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

9. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10. 掌握连续函数的运算性质和初等函数的连续性，熟悉闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理等），并会应用这些性质。

11．理解函数一致连续性的概念。

(二)、一元函数微分学

考试内容

导数的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线基本初等函数的导数导数的四则运算复合函数、反函数、隐函数的导数的求法参数方程所确定的函数的求导方法高阶导数的概念高阶导数的求法微分的概念和微分的几何意义函数可微与可导的关系微分的运算法则及函数微分的求法一阶微分形式的不变性微分在近似计算中的应用微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则泰勒(Taylor)公式函数的极值函数最大值和最小值函数单调性函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘弧微分及曲率的计算

考试要求

1. 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，掌握函数的可导性与连续性之间的关系。

2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的求导公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

3. 了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。

4. 会求分段函数的一阶、二阶导数。

5. 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数

6. 会求反函数的导数。

7. 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理。

8. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。

9. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

10. 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

11.了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

(三)、一元函数积分学

考试内容

原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理变上限定积分定义的函数及其导数牛顿－莱布尼茨（Newton－Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分广义积分（无穷限积分、瑕积分）定积分的应用

考试要求

1. 理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。

2. 熟练掌握不定积分的基本公式，熟练掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理。掌握牛顿－莱布尼茨公式。熟练掌握不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法。

3. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

4. 理解变上限定积分定义的函数，会求它的导数。

5. 理解广义积分（无穷限积分、瑕积分）的概念，掌握无穷限积分、瑕积分的收敛性判别法，会计算一些简单的广义积分。

6. 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力）及函数的平均值。

(四)、向量代数和空间解析几何

考试内容

向量的概念向量的线性运算向量的数量积、向量积和混合积两向量垂直、平行的条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程、直线方程平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件点到平面和点到直线的距离球面母线平行于坐标轴的柱面旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程常用的二次曲面方程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程

考试要求

1. 熟悉空间直角坐标系，理解向量及其模的概念。

2. 熟练掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），了解两个向量垂直、平行的条件。

3. 理解向量在轴上的投影，了解投影定理及投影的运算。理解方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

4. 掌握平面方程和空间直线方程及其求法。

5. 会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

6. 会求空间两点间的距离、点到直线的距离以及点到平面的距离。

7. 了解空间曲线方程和曲面方程的概念。

8. 了解空间曲线的参数方程和一般方程。了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

9. 了解常用二次曲面的方程、图形及其截痕，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

(五)、多元函数微分学

考试内容

多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限和连续有界闭区域上多元连续函数的性质多元函数偏导数和全微分的概念及求法全微分存在的必要条件和充分条件多元复合函数、隐函数的求导法高阶偏导数的求法空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线方向导数和梯度二元函数的泰勒公式多元函数的极值和条件极值拉格朗日乘数法多元函数的最大值、最小值及其简单应用全微分在近似计算中的应用

考试要求

1. 理解多元函数的概念、理解二元函数的几何意义。

2. 理解二元函数的极限与连续性的概念及基本运算性质，了解二元函数累次极限和极限的关系会判断二元函数在已知点处极限的存在性和连续性了解有界闭区域上连续函数的性质。

3. 理解多元函数偏导数和全微分的概念了解二元函数可微、偏导数存在及连续的关系，会求偏导数和全微分，了解二元函数两个混合偏导数相等的条件了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

4. 熟练掌握多元复合函数偏导数的求法。

5. 熟练掌握隐函数的求导法则。

6. 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。

7. 理解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。

8. 了解二元函数的二阶泰勒公式。

9. 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值、最小值，并会解决一些简单的应用问题。

10. 了解全微分在近似计算中的应用

(六)、多元函数积分学

考试内容

二重积分、三重积分的概念及性质二重积分与三重积分的计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分之间的关系格林（Green）公式平面曲线积分与路径无关的条件已知全微分求原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分之间的关系高斯（Gauss）公式斯托克斯（Stokes）公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用

考试要求

1. 理解二重积分、三重积分的概念，掌握重积分的性质。

2. 熟练掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标），掌握二重积分的换元法。

3. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

4. 掌握计算两类曲线积分的方法。

5. 掌握格林公式，掌握平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。

6. 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。

7. 了解散度、旋度的概念，并会计算。

8. 了解含参变量的积分和莱布尼茨公式。

9. 会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、曲面的面积、物体的体积、曲线的弧长、物体的质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。

(七)、无穷级数

考试内容

常数项级数及其收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法交错级数与莱布尼茨定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域、和函数的概念幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法泰勒级数初等函数的幂级数展开式函数的幂级数展开式在近似计算中的应用函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数狄利克雷（Dirichlet）定理函数在[-l，l]上的傅里叶级数函数在[0，l]上的正弦级数和余弦级数。函数项级数的一致收敛性。

考试要求

1. 理解常数项级数的收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件

2. 掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件。

3. 掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。

4. 掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

5. 了解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

6. 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7. 理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

8. 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

9. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10. 掌握一些常见函数如ex、sin x、cos x、ln(1+x)和(1+x)α等的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

11. 会利用函数的幂级数展开式进行近似计算。

12.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷定理，会将定义在[-l，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会将周期为2l的函数展开为傅里叶级数。

13. 了解函数项级数的一致收敛性及一致收敛的函数项级数的性质，会判断函数项级数的一致收敛性。

(八)、常微分方程

考试内容

常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程伯努利（Bermoulli）方程全微分方程可用简单的变量代换求解的某些微分方程可降价的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程欧拉（Euler）方程微分方程的幂级数解法简单的常系数线性微分方程组的解法微分方程的简单应用

考试要求

1. 掌握微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。

2. 掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。

3. 会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。

4. 会用降阶法解下列方程：y(n)=f(x)，y”=f(x，y’)和y”=f(y，y’)

5. 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。了解解二阶非齐次线性微分方程的常数变易法。

6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

7. 会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。

8. 会解欧拉方程。

9. 了解微分方程的幂级数解法。

10.了解简单的常系数线性微分方程组的解法。

11 会用微分方程解决一些简单的应用问题。