arctanx的导数是什么 arctanx的求导



　　本文通过复合函数求导、反函数求导等方法，介绍计算y=arctan[x+1/(x-2)]导数的主要过程。

　　解：对于反正切函数y=arctanx，其导数为y=1/(1+x^2)，

　　本题是正切函数的复合函数，其求导过程如下：

　　dy/dx=[x+1/(x-2)]&39;/{1+[x+1/(x-2)]^2}

　　=[1-1/(x-2)^2]*(x-2)^2/{(x-2)^2+[x(x-2)+1]^2}

　　=[(x-2)^2-1]/{(x-2)^2+[x(x-2)+1]^2},

　　反函数的求导公式为：[f^(-1)(x)]&39;=1/f&39;(y)。

　　对于本题，函数y=arctan[x+1/(x-2)]的反函数为：

　　tany=x+1/(x-2)，

　　此时有：y&39;=1/(tan&39;y)=1/(secy)^2=1/[1+(tany)^2],

　　由tany=1x+1/(x-2)两边平方有：

　　(tany)^2=[x+1/(x-2)]^2，即：

　　(tany)^2=[x(x-2)+1]^2/(x-2)^2,

　　进一步代入导数中并化简可有：

　　y&39;=1/{1+[x(x-2)+1]^2/(x-2)^2}*[x+1/(x-2)]&39;

　　=(x-2)^2/{[x(x-2)+1]^2+(x-2)^2]}*[1-1/(x-2)^2]

　　=[(x-2)^2-1]/{(x-2)^2+[x(x-2)+1]^2}。