等比数列求和公式 等比数列公式大全图片



　　今天清理电脑的时候发现了以前的一个想法，打开一看觉得还不错，就分享一下了。内容是通过浮力现象推导等比数列求和公式的。不感兴趣的条友就不用继续了。下面是当时的记录：

　　今天突然根据一个简单的物理现象总结出了数学中的一个公式——无穷等比数列的求和公式．

　　我们知道木头的密度小于水的密度，所以木头扔到水里，最终会有一部分浮出水面，另一部分没入水中．由二力平衡条件可知，此时物体受到的浮力等于物体的重力，即

　　，其中

　　，，于是

　　，即

　　，

　　开始时，物体体积是，没入水中的体积为 ，物体在水面以上的体积为，如果截去水面以上的部分不要，剩余物体待到重新漂浮在水面，达到稳定后，重新截去水面以上的部分不要，依此重复操作．我们看一看，第n次截去水面以上部分的体积如果记作an的话，an的表达式是什么样子的?

　　显然，重新稳定后，物体的总体积变为原来的倍，于是第二次截去水面以上部分的体积也是第一次截去水面以上部分体积的倍，即，依此类推，…，．

　　由等比数列的定义我们可以知道，上面的就构成了一个公比，首项为的等比数列．我们知道只要剩余物体的体积不等于0，我们就可以一直截下去。当截的次数趋于无穷时，剩余物体的体积将趋于．而此时截去的总体积将趋向于，由知，总体积趋向于．

　　于是我们就得到了无穷等比数列的求和公式：，考虑到上面的物理现象中，要求物块要漂浮在水面，于是，即q　　结论一：首项为，公比为的无穷等比数列，当时，求和公式为．

　　进而我们可以由此公式推导出公比时的等比数列前项求和公式。

　　，其中

　　，于是

　　前n项和．

　　结论二：首项为，公比为的等比数列，当时，前项求和公式为．

　　如果根据等比数列重新构造一个新的数列，令，，…，则就构成了一个首项为，公比为的等比数列，根据结论二，我们已经知道了这个数列之和为，我们发现这个形式和结论二的形式是一样的．

　　结论三：首项为，公比为的等比数列，当时，前项求和公式为．

　　以上就是根据物理中的浮力公式，推导出来的等比数列求和公式．当然考虑到物理现象的局限性，只能得到公比的情况，无法得到的情况．